Professeur de mathématiques à l’Université de Lorraine, Yvain Bruned est rattaché à l’équipe Probabilités et statistique de l’Institut Élie Cartan de Lorraine (IECL) où il s’intéresse aux Équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) singulières via la théorie des structures de régularité. Dans sa recherche, il utilise des algèbres de Hopf sur les arbres décorés qu’il applique aussi en analyse numérique pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles dispersives.
Il vient de recevoir une bourse ERC Starting Grant pour son projet intitulé LoRDeT, Low Regularity Dynamics via Decorated Trees. Cette subvention européenne permet à de jeunes scientifiques de réaliser un projet de recherche ambitieux en constituant une équipe autour d'un thème original. Son projet se situe à l’interface des probabilités, de l’algèbre, de l’analyse des EDP et de l’analyse numérique. Il cherche à développer l’approche innovante des arbres décorés et de leurs algèbres de Hopf pour s’attaquer à de nouveaux types d’EDPS comme les équations quasi-linéaires et dispersives ainsi qu’à leurs discrétisations. Ces techniques pourraient aussi s’appliquer aux équations dispersives pour comprendre les phénomènes de turbulence des ondes.
Portrait
Yvain Bruned a effectué son doctorat sous la direction de Lorenzo Zambotti à l’Université Pierre et Marie Curie (Paris VI). Son sujet de thèse portait sur les équations singulières de type KPZ. Il est ensuite parti 6 ans et 8 mois au Royaume-Uni. Il commence par un post doctorat à l’Université de Warwick puis à l’Imperial College London sous la direction de Martin Hairer où il a développé sa recherche autour d’un traitement systématique des EDPS singulières via la théorie des structures de régularité. En janvier 2019, il obtient un poste de Lecturer à l’Université́ d’Édimbourg.
Il a rejoint l’Université de Lorraine en septembre 2022 en tant que professeur à l’Institut Élie Cartan de Lorraine dans l’équipe Probabilités et Statistique. Ces années de recherche lui ont permis d’explorer la renormalisation des EDPS singulières, l’équation de KPZ géométrique, la déformation, les schémas de résonance et les algèbres de Hopf pour les structures de régularité en lien avec le projet LoRDeT qu’il a consigné dans 5 articles scientifiques1.
Son parcours en 5 dates
- 2015 : Obtention d’un doctorat de Mathématiques à l’Université Pierre et Marie Curie, Paris VI
- 2016 : Chercheur associé à l’Université de Warwick
- 2017 : Chercheur associé à l’Imperial College London
- 2019 : Lecturer à l’Université d’Édimbourg
- 2022 : Professeur à l’Université de Lorraine à l’Institut Élie Cartan de Lorraine
Projet LoRDeT
Le projet LoRDeT, Low Regularity Dynamics via Decorated Trees, se situe au carrefour des probabilités, de l’algèbre, de l’analyse des EDP et de l’analyse numérique.
Des dynamiques à faible régularité sont utilisées pour décrire divers phénomènes physiques et biologiques proches de la criticalité. La faible régularité provient du bruit stochastique ou de la valeur initiale. Le premier exemple est celui des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) utilisées pour décrire la croissance d'interfaces aléatoires (équation KPZ) et la dynamique de la théorie quantique euclidienne des champs. La seconde concerne les EDP dispersives avec des données initiales aléatoires qui peuvent être utilisées pour comprendre la turbulence des ondes. Une percée récente est la résolution d'une grande classe d'EDPS singulières à travers la théorie des structures de régularité inventée par Martin Hairer. Une telle résolution a été possible grâce à l'utilisation d'arbres décorés et de leurs structures d'algèbres de Hopf pour effectuer des procédures cruciales de renormalisation. Les arbres décorés apparaissent également pour décrire les schémas de résonance pour une grande classe d'EDP dispersives de faible régularité.
Le projet LoRDeT cherche à approfondir le champ de résolution donné par les arbres décorés et leurs structures algébriques de Hopf. Une des idées principales est de développer des outils algébriques au moyen de déformations algébriques. L’objectif est de voir les algèbres de Hopf utilisées pour les EDPS comme une déformation de celles utilisées dans divers domaines tels que l'analyse numérique et la théorie quantique perturbative des champs. Il est crucial de travailler en interaction avec ces différents domaines afin d'obtenir les meilleurs résultats pour les EDPS singulières et les EDP dispersives.
« L’originalité́ du projet LoRDeT est d’utiliser des techniques algébriques pour construire les solutions de dynamiques singulières. Ainsi, il est surprenant de voir autant d’algèbre au sein d’un domaine où règne un mélange d’analyse et de stochastique. »
Avec un budget de près de 1.5 million d’euros pour les 5 années à venir, Yvain Bruned dispose de moyens pour constituer une équipe de recherche et se concentrer sur ces objectifs à long terme :
- Donner une notion d'existence et d’unicité des EDPS singulières quasi- linéaires et dispersives.
- Extension de la résolution des EDPS aux dynamiques discrètes.
- Structures algébriques pour les EDPS en connexion avec différents domaines. - Arbres décorés pour une dérivation systématique des équations cinétiques des ondes.
- Développer une plate-forme logicielle pour les arbres décorés et leurs structures d'algèbres de Hopf qui apparaissent dans les EDPS singulières et les EDP dispersives.
Au total, 5 personnes (Yvain Bruned, 2 étudiants de thèse, 2 post- docs) travailleront sur ce projet, dont le financement débutera en septembre 2023 pour une durée de 5 ans.
>> Page personnelle d’Yvain Bruned
[1] Y. Bruned, D. Manchon. "Algebraic deformation for (S)PDEs". Journal of the Mathematical Society of Japan, 2023, Volume 75, Issue 2, pp 485-526. arXiv:2011.059doi:10.2969/jmsj/88028802.
[2] Y. Bruned, K. Schratz, “Resonance based schemes for dispersive equations via decorated trees”, Forum of Mathematics, Pi, 2022, Volume 10, e2, pp 1-76. arxiv:2005.01649. doi:10.1017/fmp.2021.13.
[3] Y. Bruned, F. Gabriel, M. Hairer, L. Zambotti, “Geometric stochastic heat equations”, Journal of the American Mathematical Society, 2022, Volume 35, Issue 1, pp 1-80. arxiv:1902.02884.doi:10.1090/jams/977.
[4] Y. Bruned, A. Chandra, I. Chevyrev, M. Hairer, “Renormalising SPDEs in regularity structures”, Journal of the European Mathematical Society, 2021, Volume 23, Issue 3, pp 869-947. arxiv:1711.10239. doi:10.4171/JEMS/1025.
[5] Y. Bruned, M. Hairer, L. Zambotti, “Algebraic renormalisation of regularity structures”, Inventiones Mathematicae, March 2019, Volume 215, Issue 3, pp 1039-1156, arxiv:1610.08468.doi:10.1007/s00222-018-0841-x.