Après plusieurs années de recherches communes, Cécile Dartyge, maîtresse de conférences à l’Institut Élie Cartan de Lorraine (IECL), et James Maynard, Professeur à Oxford University, ont publié leur premier article conjoint On the largest prime factor of quartic polynomial values: the cyclic and dihedral cases [1] sur les valeurs polynomiales avec un grand facteur premier.
Après avoir soutenu sa thèse à l’Université Paris-Sud Orsay, Cécile Dartyge a rejoint en 1995 le laboratoire de mathématiques. Elle est actuellement membre de l’équipe Analyse et Théorie des Nombres. Son domaine de recherche est la théorie analytique des nombres. En 2004, elle a soutenu son habilitation à diriger des recherches.
La répartition des nombres premiers
Les nombres premiers sont des entiers positifs divisibles uniquement par 1 ou par eux-mêmes. Cécile cherche à comprendre la répartition des nombres premiers parmi les entiers. Pour cela, elle travaille sur les propriétés multiplicatives de valeurs polynomiales, les entiers soumis à des contraintes digitales, les suites et les ensembles pseudo-aléatoires, les partitions des entiers. Certaines de ses recherches trouvent application dans la sécurité des systèmes cryptographiques, comme par exemple le chiffrement RSA, un algorithme de cryptographie basé sur une propriété simple des nombres entiers. Ce codage repose sur le principe qu’il est difficile de déterminer les facteurs premiers d’un entier très grand.
Le point commun de ses projets en cours est la recherche de nombre premiers ou presque premiers dans des suites éparses d’entiers. C’est au détour d’une conférence en 2019 en Italie au Second Symposium on Analytic Number Theory que commence la collaboration de Cécile Dartyge avec James Maynard.
Les polynômes sont un point de rencontre de leurs recherches respectives. Ils décident de poursuivre leurs échanges à distance avant de se revoir au Canada en 2022 lors du colloque A celebration of analytic number theory, a conference in honor of Andrew Granville. Dans le même temps, James Maynard reçoit la médaille Fields en 2022 pour ses contributions à la théorie analytique des nombres, qui ont permis des avancées majeures concernant plusieurs problèmes célèbres sur les nombres premiers et sur l'approximation diophantienne.
Une conjecture sur les polynômes et les nombres premiers
L’objet de leur recherche s’appuie sur le contexte suivant : Soit P un polynôme de degré supérieur ou égal à 2, irréductible et sans diviseur fixe. Une conjecture célèbre et toujours ouverte, énonce qu’il existe une infinité d’entiers n tels que P(n) soit un nombre premier. Une voie d’approche est de détecter des entiers n tels que P(n) ait un grand facteur premier c’est-à-dire sensiblement plus grand que n.
Une part importante de leur travail conjoint porte sur des sommes dites «de type II » dans des corps de nombres. Avec James Maynard, ils étendent à leurs problèmes des méthodes qu’il a mises au point dans son article Primes represented by incomplete norm form [2] sur les nombres premiers représentés par des normes d’éléments de corps de nombres.
De son côté, Cécile a déjà obtenu une première avancée il y a une dizaine d’années pour un polynôme de degré 4, le 12ème polynôme cyclotomique. C’est en mettant leurs compétences en commun qu’ils obtiennent les extensions espérées. Ils résolvent ensemble le cas des polynômes quartiques de groupe de Galois diédral ou cyclique.
Leurs travaux ont donné lieu à un article qui vient d’être accepté au Journal of the European Mathematical Society : On the largest prime factor of quartic polynomial values: the cyclic and dihedral cases. Mais leur collaboration ne s’arrête pas là. En octobre dernier, Cécile Dartyge a convié James Maynard pour les 10 ans de l’IECL. Il accepte de donner une conférence en tant qu’orateur invité et profitent de cette nouvelle rencontre pour poursuivre leurs travaux. Dans la continuité de leur article, ils ont pour projet de détecter les nombres premiers dans des suites polynomiales de polynômes en plusieurs variables encore plus éparses. Nul doute que l’association de leurs compétences devraient aboutir à de nouveaux résultats prometteurs.
[1] Référence de la publication
Cécile Dartyge, James Maynard. On the largest prime factor of quartic polynomial values: the cyclic and dihedral cases. 2022. 〈hal-03951306v2〉
Résumé : Soit P (X) ∈ Z[X], irréductible, unitaire, de degré 4, de groupe de Galois cyclique ou diédral. Nous montrons qu’il existe >0 tel que pour une proportion positive d’entiers n, P(n) ait un facteur premier supérieur à .
[2] James Maynard, Primes represented by incomplete norm forms, Forum of Mathematics Pi, (2020), Vol. 8, 128 pages.