Du 2 au 6 juin s'est tenu un colloque au cours duquel les doctorants et post-doc en mathématiques ont bénéficié de mini-cours consacrés à des résultats de recherche récents en matière de théorie de l'indice et de K-théorie.
Ils étaient une vingtaine de jeunes chercheurs parmi les 41 participants à la conférence K-Theory and Index Theory. Jean-Louis Tu, professeur à l'Institut Élie Cartan et organisateur de la manifestation insiste sur la dimension internationale :
"un tiers d'entre eux sont ou ont été formés en France. La plupart des autres sont basés en Allemagne (Münster, Göttingen) où travaillent des experts du domaine (géométrie non commutative, théorie de l'indice, K-théorie), et quelques-uns de Copenhague. Nous avons d'ailleurs de bonnes relations avec ces universités étrangères puisque des jeunes (doctorants ou post-doctorants) se sont rendus en Allemagne en 2009 et qu'une conférence à Metz a été co-organisée par le groupe de recherche "géométrie non commutative" et l'université de Göttingen en 2012."
L'équivalent du prix Nobel en mathématiques
Les premiers travaux les plus célèbres portant sur la théorie de l'indice remontent aux années 1960 avec le théorème d'Atiyah et Singer, qui valut à Atiyah la médaille Fields en 1966, Singer ayant dépassé l'âge limite de 40 ans à cette date. Ce théorème donne des informations sur le nombre de solutions d'un certain type d'équations aux dérivées partielles (par exemple l'équation dite de la chaleur) sur certains types d'espaces (comme une sphère ou un tore). La K-théorie, qui était un concept provenant d'un domaine de recherche disjoint, joue un rôle essentiel dans la démonstration de ce théorème.
Par la suite, Atiyah et Singer, ainsi que d'autres auteurs, ont généralisé leurs résultats à d'autres types d'espaces tels que les variétés à bord (par exemple une demi-sphère). L'ensemble de ces travaux ont valu à Atiyah et Singer le prix Abel en 2004 ; ce prix, qui se veut l'équivalent du prix Nobel en mathématiques, a pour but de couronner l'ensemble d'une carrière, contrairement à la médaille Fields qui récompense un résultat marquant.
On ne peut pas connaître simultanément la position et la vitesse d'une particule au-delà d'une certaine précision
Le théorème d'Atiyah et Singer a été l'une des principales sources d'inspiration pour Alain Connes, médaillé Fields en 1982, pour développer la géométrie non commutative. L'idée de la géométrie non commutative remonte à la mécanique quantique, dans laquelle certaines quantités physique comme la position d'une particule ne sont plus représentées par des nombres mais des "opérateurs" qui ne commutent pas. La non-commutativité est illustrée par le fait que l'on ne peut pas connaître simultanément la position et la vitesse d'une particule au-delà d'une certaine précision.
Il s'avère que nombre de concepts, tels que la K-théorie, se généralisent dans le contexte des espaces non commutatifs, ce qui permit à Alain Connes et d'autres chercheurs de généraliser le théorème d'Atyiah-Singer à certains types d'espaces non commutatifs tels que les feuilletages.
Cette direction de recherche est encore très active de nos jours. Le projet ANR (Agence nationale pour al recherche) blanc KInd (K-théorie et théorie de l’indice), porté par Jean-Louis Tu s’inscrit dans la continuité de ce programme de recherche. Outre les trois mini-cours sur le sujet, la conférence de cloture de ce projet ANR a accueilli une dizaine d’exposés portant sur les avancées récentes, effectués par des membres du projet ou bien par des orateurs extérieurs, français ou étrangers.